Trốn Thoát Khỏi Thư Viện – Chương 39

Chương 39: Mê cung số nguyên tố 02

~ Chỉ đạo của Giang Bình Sách ~


Đúng 8 giờ sáng, trường thi môn bắt buộc “Mê cung số nguyên tố” của khoa Toán mở ra.

Bốn người Việt Tinh Văn nhoáng cái đã bị kéo vào một mê cung kỳ lạ. Căn phòng mê cung có kết cấu hình lập phương, sáu bức tường trên dưới, trước sau, trái phải đều được quét một lớp sơn đen đặc biệt, còn dán thêm rất nhiều chấm điểm xuyết như sao, tựa như giữa vũ trụ đen kịt, sâu thẳm, những “ngôi sao” ấy tỏa ra ánh sáng mong manh, chiếu sáng cả căn phòng.

Trên bốn mặt tường xung quanh đều có một cánh cửa, trên mỗi cánh cửa có một tấm thẻ số được dán bằng ký tự huỳnh quang, tấm thẻ đó phát sáng lấp lánh, tựa như thẻ tích điểm trong môn “Chạy định hướng”, có thể lấy xuống thu thập.

Câu hỏi phụ: Thu thập toàn bộ số nguyên tố sinh đôi.

Hẳn là họ phải lấy hết toàn bộ thẻ “số nguyên tố sinh đôi” dán trên tường xuống mới hoàn thành câu hỏi phụ.

Việt Tinh Văn đảo mắt nhìn quanh, bốn con số trên căn phòng đầu tiên rất đơn giản, là 4, 5, 6, 7.

Các số nguyên số có một chữ số rất dễ tìm, 5 và 7 là một cặp số nguyên tố sinh đôi. Nếu họ lấy sai thẻ, chắc chắn sẽ không được điểm câu hỏi phụ, vậy nên họ nhất định phải tính kết quả rõ ràng rồi mới lấy thẻ.

Việt Tinh Văn nhìn sang Giang Bình Sách: “Mê cung 3 tín chỉ, chắc không quá dễ đâu nhỉ?”

Giang Bình Sách chau mày suy nghĩ vài giây, nói: “Mỗi căn phòng có bốn cánh cửa, nếu như đằng sau mỗi cánh cửa đều có một lối đi, vậy thì số cửa trong mê cung này sẽ là 4^n. Chỗ khó ở đây không phải là tìm số nguyên tố sinh đôi, mà là vạch ra con đường chính xác. Chúng ta phải vừa tìm đường vừa vẽ bản đồ.

Kha Thiếu Bân nhanh chóng lấy laptop của mình ra, “Tớ có thể viết một đoạn code, tính nhanh ra những số nào là số nguyên tố, tiện đó dựng một mô hình mê cung luôn… Đợi đã, hình như laptop của tớ không bật lên được?”

Lưu Chiếu Thanh sáp lại nhìn, “Không phải hỏng rồi chứ?”

Kha Thiếu Bân đặt ngón tay lên nút khởi động cả buổi, khó hiểu nói: “Chẳng lẽ không cho dùng máy tính?”

Việt Tinh Văn bất lực đỡ trán, “Xem ra kỳ thi này không được dùng máy tính, chúng ta phải tự tính thôi.” Cậu ngẩng đầu lên nhìn đồng hồ trên góc phải, “Thời gian thi là 4 tiếng, nếu có nhiều lối rẽ chúng ta cứ tìm dần chắc cũng kịp.”

Lưu Chiếu Thanh khoát tay, “Bao năm rồi anh không sờ vào toán, giờ bảo anh làm phép chia là não xoắn vào với nhau luôn. Môn này mấy đứa cứ coi anh là móc treo di động đi, anh sẽ im lặng đi theo mấy đứa.”

Việt Tinh Văn cười nói: “Em cũng vậy.”

Giang Bình Sách bỗng nghiêm túc nói: “Để qua môn nhanh nhất có thể, chúng ta chia nhóm dò đường đi.”

Kha Thiếu Bân và Lưu Chiếu Thanh nhìn nhau, đồng thanh: “Chia nhóm!”

Chắc chắn hắn cùng nhóm với Việt Tinh Văn rồi, hai người còn lại có ổn không vậy?

Kha Thiếu Bân ngại ngùng nâng kính, hai tai hơi ửng lên: “Mặc dù tớ học chuyên ngành tự nhiên, nhưng mà… Từ năm nhất tớ đã quen việc dùng máy tính giải quyết các vấn đề cần tính toán rồi, lâu lắm rồi chưa làm toán. Phép chia trên ba chữ số đã phải lấy giấy bút ra tính mấy lần mới ra kết quả. Tớ với đàn anh một đội, có lẽ hiệu suất sẽ kém lắm.”

Giang Bình Sách nói: “Không phải chia hai nhóm.”

Hắn ngoảnh đầu nhìn đồng đội bên cạnh mình, nhả ra từng chữ: “Chia bốn nhóm, mỗi người một nhóm.”

Ba người: “…”

Cậu đùa à? Lưu Chiếu Thanh khiếp đảm: “Anh học toán nát thật đó!”

Việt Tinh Văn nhanh chóng hiểu suy nghĩ của hắn, “Ý cậu là bốn chúng ta chia nhau dò đường, còn nhiệm vụ tính toán giao cho cậu, một mình cậu tính hết số nguyên tố của bốn con đường phải không!”

Quả nhiên là Tinh Văn hiểu hắn, Giang Bình Sách bình tĩnh gật đầu.

Kha Thiếu Bân và Lưu Chiếu Thanh trợn mắt nhìn hắn.

Cứ tưởng rằng hắn muốn chia thành hai nhóm nhỏ, kết quả, Giang Bình Sách còn dữ dằn hơn họ tưởng tượng – Trực tiếp chia thành bốn đội! Một mình hắn tính bốn con đường!

Hiển nhiên, hắn vô cùng tự tin với năng lực tính toán của mình.

Giang Bình Sách nhìn sang Việt Tinh Văn, nghiêm túc nói: “Kênh nhóm nghiên cứu có thể gửi tin nhắn trong thời gian thi, mỗi khi mọi người bước vào một phòng thì gửi số ghi trên cửa vào kênh nhóm, tôi sẽ tính rồi gửi lại đáp án chính xác.”

Việt Tinh Văn thử gửi một câu vào kênh nhóm nghiên cứu: “Có thấy không?”

Bốn người đều nhìn thấy tin nhắn trên khung nổi góc trái.

Mắt Việt Tinh Văn sáng lên, “Cách này được quá! Bốn người chúng ta đi bốn hướng riêng, có thể tiết kiệm được rất nhiều thời gian tìm kiếm, số lần đi về mua đường cũng sẽ ít đi.” Cậu dừng một lát, lo lắng nhìn Giang Bình Sách: “Nhưng nếu làm vậy áp lực của cậu sẽ lớn lắm phải không? Bốn con người, nếu về sau đi lung tung mất, cậu có thể phân rõ phương hướng không?”

Nếu phán đoán của Giang Bình Sách không sai, mỗi phòng mê cung đều có bốn cảnh cửa, bốn lối đi, vậy thì số con đường chính xác nhiều tới 4 mũ n, số con đường tăng theo cấp lũy thừa, liệu hắn có nhớ hết được không?

Giang Bình Sách nhìn Việt Tinh Văn, đôi mắt đen láy tràn đầy nghiêm túc: “Tin tôi.”

Nhìn ánh mắt hắn, Việt Tinh Văn dứt khoát gật đầu: “Được, tôi tin cậu, làm theo lời cậu đi!”

Giang Bình Sách nói: “Xé mấy trang từ điển của cậu cho tôi, tôi vẽ lại bản đồ trong mê cung.”

Việt Tinh Văn làm theo, tiện tay lấy một cây bút trong túi áo đưa cho Giang Bình Sách.

Giang Bình Sách đi đến trước bức tường có dán số “5”, mở cửa ra, quả nhiên căn phòng tiếp theo giống y hệt phòng này, cũng có bốn bức tường, dán bốn con số.

Việt Tinh Văn lại thử đẩy ba cánh cửa “4” “6” “7” còn lại ra, cũng nhận được kết quả giống vậy.

Điều này chứng minh suy luận của hắn là chính xác – Mỗi một căn phòng đều có bốn cảnh cửa, bốn lối ra. Những căn phòng ở cuối chắc chắn sẽ là đường cụt. Muốn tìm được lối ra chính xác của mê cung, nếu bốn người họ đi cùng nhau, tìm kiếm từng phòng một, chắc chắn vẫn có thể ra ngoài trong bốn tiếng. Nhưng muốn được điểm cao trong môn này, họ không thể sử dụng biện pháp ngu nhất này được.

Giang Bình Sách nhanh chóng vẽ vài hình vuông lên giấy, giải thích: “Mọi người đi nhiều đường quá sẽ không nhớ rõ phương hướng, ví dụ căn phòng hiện tại có bốn số 4, 5, 6, 7; Sau khi mở cánh cửa viết số 5, các cậu sẽ vào căn phòng tiếp theo, phải nhớ cánh cửa nối liền với số 5 đó có số mấy. Khi báo số, bắt đầu từ cánh cửa mà mọi người bước vào, đọc theo chiều kim đồng hồ, có hiểu ý tôi không?”

Việt Tinh Văn nhìn mấy căn phòng được vẽ liền nhau trên giấy, tất cả đều là hình vuông, được đánh một con số ở bên cạnh, đúng như hắn nói, sau này khi đi quá nhiều, cảm giác về phương hướng sẽ thành mây bay hết, không phân biệt được đông tay nam bắc, hơn nữa mọi bức tường trong mê cung đều được sơn cả trời sao lên đó, không choáng váng mới lạ.

Muốn định vị phương hướng chính xác, buộc phải dựa vào căn phòng trước đó.

Ví dụ, cánh cửa thẳng trước phòng A dán số 5, coi là “cửa số 5”, sau khi đẩy cảnh cửa này ra sẽ là phòng B, vì phòng B cũng là hình vuông, hai hình vuông kề nhau sẽ có chung một cạnh, cũng tức là trong bốn bức tường phòng B, buộc phải có một cánh cửa linh thẳng với “cửa số 5” của phòng A.

Logic mà Giang Bình Sách dùng ở đây là “Hai căn phòng dùng chung một cánh cửa, hai mặt cửa dán những số khác nhau”. Sau đó, bắt đầu từ căn phòng đầu tiên, không ngừng suy luận dần xuống là có thể suy ra được sơ đồ mê cung hoàn chỉnh.

Phương pháp suy luận này không cần quan tâm đông tay nam bắc, chỉ cần không đi sai các cửa trong mỗi phòng thì sơ đồ của hắn sẽ không sai.

Giang Bình Sách nhìn ba đồng đội, dặn dò lại lần nữa: “Nhất định phải nhớ kỹ con số trên cảnh cửa mà mình mở ra, sau khi vào phòng lập tức nhìn con số đằng sau cánh cửa đó, đọc theo chiều kim đồng hồ, không được đọc sai. Sai một số sẽ sai cả phần sau, mọi người rõ chưa?”

Ba người nhìn sau, đồng loạt gật đầu: “Rõ!”

Họ không phân biệt được đông tây nam bắc, nhưng theo chiều kim hay ngược chiều kim đồng hồ thì vẫn phân rõ được!

Giang Bình Sách nói: “Chia đội đi. Kha Thiếu đi cửa số 4, tôi đi cửa số 5, Tinh Văn 6, đàn anh 7.”

Việt Tinh Văn chủ động đưa tay ra: “Nào, chúng ta cổ vũ cho học bá.”

Lưu Chiếu Thanh và Kha Thiếu Bân tự giác đặt tay xuống, Giang Bình Sách nhìn Việt Tinh Văn, cũng phối hợp đặt tay lên trên, Việt Tinh Văn khẽ úp tay còn lại lên mu bàn tay hắn, cười xán lạn: “Cố lên, đừng tự áp lực quá, bọn mình qua môn là được không cần tranh hạng nhất đâu, biết chưa?”

Giang Bình Sách ấm lòng, gật đầu với cậu: “Ừ, mọi người đừng cầm sai thẻ. Tiêu chuẩn cho điểm của câu hỏi phụ chắc chắn là những tấm thẻ chúng ta thu thập được đều là số nguyên tố, lấy sai sẽ trừ điểm.”

Bốn người nhìn nhau rồi tách ra đi vào bốn cánh cửa, căn phòng tiếp theo lại xuất hiện những con số.

Lần này là hai chữ số.

Phòng của Việt Tinh Văn là 11/12/13/14, phòng của Kha Thiếu Bân là 16/17/18/19, của Lưu Chiếu Thanh là 28/29/30/31, còn Giang Bình Sách là 40/41/42/43.

Hai chữ số rất đơn giản, mọi người tự tính ra được, nhưng để tiện cho Giang Bình Sách vẽ sơ đồ, ba người vẫn làm theo lời hắn nói, đọc số trong căn phòng mình vào theo chiều kim đồng hồ tính từ cách cửa họ bước vào.

Giang Bình Sách chỉ thị: “Lấy thẻ ghi số nguyên tố sinh đôi xuống, Tinh Văn đi cửa 13, Kha Thiếu 18, đàn anh 30.”

Con đường hắn chọn đều là đối diện lối họ vào, đi đường thẳng trước, đụng tường chết thì quay lại đi bên trái, sau đó là bên phải, làm như vậy sẽ không bị loạn.

Bốn người nhanh chóng bước đến phòng tiếp theo, con số lần này đã thành ba chữ số.

Giang Bình Sách: “Đàn anh lấy 107 và 109, đi cửa 111.”

Lưu Chiếu Thanh lấy hai tấm thẻ số theo chỉ thị của hắn rồi đi tiếp.”

Tin nhắn Giang Bình Sách gửi tới không ngừng xuất hiện trong kênh nhóm nghiên cứu, “Tinh Văn lấy 137, 139, đi 133.”

“Kha Thiếu lấy 179, 181, đi cửa 181.”

Phòng tiếp theo, số nguyên tố đã lên thành bốn chữ số.

Hai số và ba số mọi người còn có thể tính thử, từ bốn chữ số trở đi, ba người đã bỏ hẳn động não, rảnh rỗi tự ngồi tính chẳng bằng nhanh tay đánh số rồi chờ kết quả từ Giang Bình Sách.

Giang Bình Sách tính nhanh kinh khủng, tính bốn con đường cùng lúc vẫn có thể đưa ra đáp án trong giây lát!

“4019, 4021” “8969,8971” “9281, 9283…”

Đến phòng tiếp theo, con số đã thêm một hàng đơn vị nữa.

“16829, 16831” “31541, 31543…”

Nhưng với Giang Bình Sách thì số có năm chữ số vẫn không khó gì, hắn nhanh chóng tính ra chính xác từng cặp số nguyên tố sinh đôi rồi báo kết quả.

Các đồng đội thu thập được càng lúc càng nhiều thẻ. Giang Bình Sách không chỉ phải tính số nguyên tố sinh đôi của bốn con đường cùng lúc, còn phải vừa đi vừa vẽ lại sơ đồ mê cung, bảo đảm phương hướng đồng đội đi sẽ không sai…

Trong mê cung khắp nơi là số này, người khác cảm thấy xây xẩm không biết phải đi thế nào, Giang Bình Sách lại như cá gặp nước – Những con số này là bạn đồng hành thân thiết nhất với hắn từ thuở nhỏ. Từ khi học cấp ba hắn đã tham gia thi Toán học toàn quốc, hắn chân thành yêu thích toán học, thích thế giới kỳ diệu, phong phú và chặt chẽ mà những con số tạo nên.

Trong thế giới toán học hắn như vương giả trời sinh, người khác sợ số, hắn lại có thể khống chế chúng.

Những con số trong phòng càng lúc càng phức tạp, càng phải tính toán nhiều hơn.

Não bộ của Giang Bình Sách như máy tính chạy tốc độ cao, hắn vừa tính vừa hình dung sơ đồ của mê cung trong đầu mình, các đồng đội vừa gửi số, hắn đã có thể đưa ra đáp án chính xác một cách nhanh chóng.

Việt Tinh Văn: “Căn phòng tiếp theo là đường cụt, không có cửa.”

Giang Bình Sách chỉ đạo: “Lùi lại một phòng, đi cửa 8861.”

Chẳng mấy chốc Kha Thiếu Bân cũng nói: “Tôi đụng ngõ cụt rồi.”

Giang Bình Sách: “Lùi lại, đi cửa 9657.”

“Đàn anh quay đầu, đi cửa số 9861.”

Dưới sự chỉ huy của Giang Bình Sách, mọi người dò từng con đường một, những lối rẽ họ thăm dò trong cả tòa mê cung sắp không đếm xuể, chỉ riêng Việt Tinh Văn đã đi tám lối rẽ, khó mà tưởng tượng được Giang Bình Sách lại không sai sót gì.

Tưởng rằng cứ tiếp tục dò tìm thế này, chẳng mấy chốc họ sẽ tra được hết các con đường, song khi số thẻ Việt Tinh Văn thu thập được đã lên tới 30 tấm, tin nhắn của Lưu Chiếu Thanh bỗng xuất hiện trong kênh nhóm: “Á đù, phòng chỗ anh vào có một thang máy, có nút ấn lên xuống nữa.”

Vài giây sau, Kha Thiêu Bẫn cũng nhắn: “Tôi vào cửa 24189 rồi, bên trong cũng có thang máy.”

Thang máy có thể lên xuống?

Việt Tinh Văn nói: “Chẳng lẽ mê cung này có ít nhất ba tầng?”

Giang Bình Sách nói: “Tôi đã dự tính trước rồi. Mô tả môn học có nói đây là mê cung hình lập phương. Mê cung trên mặt phẳng có nhiều lối rẽ thế nào đi nữa, đánh dấu vào tìm dần cũng không khó, độ khó của mê cung lập phương thì khó gấp bội.”

Việt Tinh Văn lo lắng nói: “Mê cung lập phương… vậy cậu cũng phải tính nhiều gấp bội phải không?”

Giang Bình Sách nói: “Không sao, quay lại đã, chúng ta thu thập hết số nguyên tố sinh đôi của tầng này rồi mới lên trên.”

Muốn làm câu hỏi phụ, thu thập toàn độ số nguyên tố sinh đôi, cũng tức là họ phải tra tìm mọi căn phòng trong mê cung. Ba người đã váng đầu hoa mắt từ lâu, không phân rõ nam bắc, nhưng sự chỉ đạo bình tĩnh, rõ ràng của Giang Bình Sách đã cho họ rất nhiều niềm tin.

Trong mê cung số mênh mông như trời sao này, không chỉ phải tính đồng thời bốn con đường, nhanh chóng tìm ra những cặp số nguyên tố sinh đôi giữa những con số chi chít cho đồng đội, còn phải bảo đảm các đồng đội không đi lạc trong quá trình quay lại đường cũ, dò tìm, mở đi mở lại nhiều cánh cửa.

Chỉ huy có độ khó cao như vậy, có lẽ các đội khác còn không dám nghĩ tới.

Nhưng Việt Tinh Văn tin rằng – Giang Bình Sách, chắc chắn sẽ làm được.


Chương 38 | Chương 40

18 Replies to “Trốn Thoát Khỏi Thư Viện – Chương 39”

  1. Mình nghĩ 4^n là đúng rồi. Vì mỗi phòng có bốn cửa, mở một cửa là thêm một phòng có bốn cửa nữa.

    Like

    1. n là số phòng á, nên nếu có 2 phòng thì chỉ có 8 cửa thôi, mà nếu 4^2 thì 2 phòng tận 16 cửa luôn á~
      btw chúc mừng năm mới bạn nha ^^

      Like

      1. Theo mình N ko phải số phòng. Phòng đầu có 4 cánh cửa, bạn mở1 cánh ra thì thấy 4 cửa. Như vậy vậy khi bạn mở hết 4 cánh ra thì thấy 16 cửa. N là số lần mở 4 cửa đồng loạt í.

        Like

      2. Thực ra mình Ko biết diễn tả N thế nào nữa. N là số lần mở 4 cửa là hơi sai vì có tính mở cửa phòng lần đầu nữa. Nhưng mình Ko biết nói sao cho đúng nữa.

        Like

      3. Theo mình n là vầy nè. N=1, bạn mở phòng thấy 4 cửa, N=2 bạn mở hết 4 cửa đó ra thì tổng cửa bạn có 16, N=3 bạn tiếp tục mở hết 16 cửa này ra thì tổng cửa bạn thấy là 4^3 vv

        Liked by 2 people

      4. Nhưng vì phòng là lập phương nên khi mở tới lần thứ 2,3 trở đi sẽ xuất hiện nhiều lối trùng hơn á. 4^3 là 64 lận cơ, mà nếu bạn vẽ bản đồ ra thì khi mở hết 16 cửa chỉ hơn 30 cửa thôi á. Còn nếu tính cả số cửa trùng thì từ sau khi mở 4 cửa đầu tiên đã là 20 cửa rồi

        Like

      5. Khúc này Bình Sách chỉ dự đoán số cửa theo số liệu có sẵn chứ lúc ấy đâu biết bản đồ thế nào. Mình cũng dựa theo suy ra thôi. Và cách này chỉ là tính số cửa có thể có chứ ko chính xác hoàn toàn vì có cửa trùng như bạn nói á.

        Like

      6. Thật ra mình cũng không hiểu n là giá trị nào ở đây nữa =)) Mình chỉ tính sương sương kiểu ví dụ 4^7 là hơn 16000, thì liệu 7 ở đây là 7 gì mà có tới đáp án khổng lồ như vậy.

        Like

      7. Tui nghĩ cái này chỉ là dự đoán số của có thể có, nó ko phải phép tính để tính ra cửa, suy ra bản đồ. BS phải thêm phép tính gì đó mới ra được hoặc do dò đường đếm ra. Chứ tui ko nghĩ một phép tính đơn giản thế này mà ra được đáp án đâu. Nghĩ vậy thì nó hợp lí hơn.

        Like

      8. Quên nữa, tui chúc bạn năm mới vui vẻ, gặp nhiều may mắn nhen. Còn cảm ơn bạn vì làm bộ này nữa. Đọc thích lắm. ❤

        Liked by 1 person

  2. Đọc không hiểu phải làm thế nào 🥺🥺🥺 btw cảm ơn nhóm dịch nhó, riêng phần chú thích giải nghĩa đã tuyệt vời lắm rồi, lại còn edit mấy môn hack não như này nữa, đỉnh 😆😆❤️❤️❤️

    Liked by 1 person

  3. Đây là lần đầu tiên mình log in vào WordPress và chỉ để viết cmt này thôi á ;)) đúng ở đây là 4^n

    Bạn tưởng tượng bản thân đứng ở trung tâm và 4 phía có 4 cánh cửa.
    Phòng trung tâm bạn đứng đánh số là lượt phòng thứ 1, bạn mở 4 cánh cửa trong phòng đó thì sẽ có 4 căn phòng mới ( lượt phòng thứ 2 ), trong 4 căn phòng mới sẽ có 4 cánh cửa/phòng => bạn sẽ có 4 x 4 = 16 cửa tại vòng thứ 2, tương đương với 4^2.
    Trong 16 cánh cửa này sẽ bắt đầu có cửa trùng vì sẽ có 1 cửa dẫn bạn quay lại lượt 1. Vậy nên trên thực tế, số cửa ở lượt 2 mà bạn có thể đi sẽ là 4^2 – 4^1 = 16 – 4 = 12.
    Tương tự, 12 phòng ở lượt 3 có 4^3 – 4^2 = 64 – 16 = 48 cánh cửa có thể đi lên lượt 4.

    Số cửa ở mỗi lượt sẽ được tính là 4^n – 4^(n-1) với n là lượt phòng mà bạn muốn tính ( n>=2 ). Tiếp đó nếu muốn tính tổng cộng số lượng số mà Bình Sách phải tính toán xem đó có phải số nguyên tố hay không thì phương trình sẽ là 4 + Σ[4^n – 4^(n-1)] với n >= 2

    Ở đây tác giả chỉ nói là 4^n có lẽ là do thương độc giả không muốn phức tạp hóa quá đà ;)) Ngoài ra trường hợp trùng mà bạn chỉ tính ra khoảng 20 30 cửa có lẽ là do bạn áp dụng hệ thống mặt phẳng 2D, có nghĩa là giống như bàn cờ vậy, dù đi 2 hướng khác nhau lộ tuyến khác nhưng qua vài lần rẽ có thể đụng được nhau. Nhưng trong truyện nếu mình không nhầm thì là hệ thống 3D có 3 chiều. Vậy nên chỉ cần mỗi người đi 1 hướng thì sau đó có rẽ tá lả sml cũng không đụng được nhau, giao điểm a.k.a điểm gặp duy nhất trong lộ tuyến của 4 người sẽ là phòng trung tâm a.k.a lượt phòng số 1

    Liked by 1 person

Leave a Reply

Please log in using one of these methods to post your comment:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Google photo

You are commenting using your Google account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

Connecting to %s